Le Centre national de la recherche scientifique est un organisme public de recherche pluridisciplinaire placé sous la tutelle du ministère de l’Enseignement supérieure et de la Recherche. Créé en 1939 et dirigé par des scientifiques, il a pour mission de faire progresser la connaissance et être utile à la société dans le respect des règles d’éthique, de déontologie et d’intégrité scientifique.

Sujet de thèse :
THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES GROUPES AU-DELÀ DU MONDE DES GROUPES LOCALLEMENT COMPACTS

RÉSUMÉ. Dans ce projet, nous proposons d’étendre les techniques de la théorie géométrique des groupes développées pour les groupes discrets et localement compacts à certains groupes non localement compacts. La première classe de groupes considérée est celle des groupes universels de Burger-Mozes agissant sur des arbres réguliers non localement finis. D'autres questions sur les groupes agissant sur des continua médians et sur les réseaux de groupes polonais sont également abordées.

1. INTRODUCTION
La théorie géométrique des groupes vise à révéler les liens entre la géométrie d'un espace X et les propriétés algébriques, combinatoires ou analytiques d'un groupe G agissant sur X. Au cours des dernières décennies, cette théorie a été particulièrement féconde et a donné de nombreux résultats pour les groupes discrets ou, plus généralement, les groupes localement compacts.

Plus récemment, des idées issues de la théorie géométrique des groupes ont commencé à être utilisées au-delà du monde des groupes localement compacts, en particulier pour les groupes polonais (voir par exemple \[Ros23]). Rappelons qu'un groupe polonais est un groupe topologique qui est séparable et métrisable avec une métrique complète. Un point clé est le fait qu'ils possèdent la propriété de Baire et, en ce sens, leur topologie est relativement "régulière".

Des exemples de tels groupes sont donnés par les groupes d'homéomorphismes d'espaces métrisables compacts, les groupes d'isométries d'espaces métriques polonais, les groupes d'opérateurs d'espaces de Banach séparables, les groupes d'automorphismes de structures dénombrables (comme les graphes)...

Le but de ce projet de thèse s'inscrit dans cet objectif général d'étendre la théorie géométrique des groupes aux groupes polonais. Il s'agit donc d'étudier la géométrie, la topologie et la dynamique de différents types de groupes polonais.

Quitter le monde des groupes localement compacts (que l'on peut considérer comme celui de dimension finie) fait apparaître de nouveaux phénomènes inattendus. Par exemple, en dynamique topologique. Par dynamique topologique, on entend l'étude de toutes les actions continues de groupes topologiques sur des espaces compacts. Pour un groupe localement compact, il existe toujours une action libre sur un espace compact, mais pour des groupes topologiques généraux, il est possible que certains groupes possèdent toujours un point fixe pour toute action continue sur un espace compact. Ces groupes, comme le groupe unitaire de l'espace de Hilbert, sont appelés extrêmement moyennables.

Dans les sections suivantes, nous décrivons les orientations qui s'inscrivent dans ce large projet.

Voici la traduction complète de la **section 2 : Les groupes universels de Burger-Mozes comme groupes polonais**, extraite du document :

2. LES GROUPES UNIVERSELS DE BURGER-
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Contraintes et risques :
Pas de risque particulier.